אברהם נולד בכפר ליד דובנו, עיר בגליל רובנו באוקראינה המערבית (רוסיה).
בילדותו נפטרה אמו, והוא גדל בבית סבו. אברהם לא למד ב"חדר", כדרך רוב ילדי ישראל בגולה אלא נשלח לדוכנו ולמד בבית-ספר עברי מכיתה א' עד הגימנסיה. הלימודים בבית-ספר זה התנהלו בעברית.
אברהם הצטרף ל"החלוץ", והיה פעיל בסניף התנועה בעיר. מתוך הכרה חלוצית יצא להכשרה. את הכשרתו עשה בקיבוץ קולוסובה - ארבע שנים עבד במחצבות, ובשנת 1928 זכה לקבל סרטיפיקט, ועלה לארץ ישראל.
ראשית דרכו בארץ היתה בגרעין חלוצי בעין-חרוד, אחר כך עבר הגרעין לחברת המעבר בגבעת השלושה. חברותו בגבעת השלושה נמשכה ארבע שנים, ומשם עבר לכפר-יונה. שם התקבל לעבודה בפרדסים.
בכפר יונה הקים משפחה ובנה את ביתו. בפרוץ מלחמת העולם השניה נפסק משלוח הכסף לעיבוד הפרדסים של היהודים מחו"ל, והעיבוד עבר לידי אפוטרופוס. צעדו הראשון היה לפטר את הפועלים היהודים, ולהחליפם בפועלים ערבים ששכר עבודתם היה נמוך בהרבה משכר הפועלים היהודים. כתוצאה מהמצב שנתהווה, החליטה המשפחה לעבור להתיישבות בחרות. בכסף שנתקבל ממכירת הבית בכפר-יונה, רכשה משפחת פישביין בשנת 1945, בית ומשק בחרות. המשפחה נקלטה יפה במושב והמשק התפתח היטב הודות למאמציהם המשותפים של אברהם ורעייתו רבקה.
במבצע קדש בקרב המיתלה נפל בנם רוני. צל כבד של עצב ליווה את המשפחה לאחר האסון.
למרות בריאותו הלקויה בשנים האחרונות לא הזניח אף לרגע את המשק, והיה מדקדק מעבודות הפרדס ומקפיד על כל פרט ופרט. על פרדסיו הפורחים והמניבים פרי משובח היתה גאוותו הגדולה.
נפטר בשנת השבעים ושמונה לחייו, ב-1979.